Решение задач на сплавы, смеси, работу, движение, проценты с использованием таблиц

  • Бардаш Марина Васильевна, учитель математики и информатики
  • Михайленко Александра Анатольевна, учитель математики и технологии

Цель: научить учащихся, используя таблицу, быстро решать “трудные” задачи.

При решении многих задач можно использовать таблицу, которая мобилизует, упрощает, помогает решению задач. Для начала введем стандартную таблицу.3 на 3 (Три линии по горизонтали и три по вертикали)

Схема таблицы:

Данная таблица приемлема при решении задач на движение, на работу, на сплавы, растворы и проценты. При решении многих задач в столбцах рекомендую детям следующее обозначение (См. презентацию):

Рассмотрим задачи.

1. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди (1 вещество) в 6% и 11%.Сколько надо взять “бедной” руды, чтобы получить при смешивании с “богатой” (2 вещество), 20 тонн с содержанием меди 8% (1+2 вещество)?

Возможны наводящие вопросы:

  1. Если первое вещество 6%, то второе сколько %?
  2. Первое обозначаем Х т, а общий вес 20 т, то второго сколько т?
  3. Медь первого куска и второго составляет медь сплава.

Заполним таблицу:

1-ое вещество (медь) 2-ое вещество Вес (т)
1. 6% 94% х
2. 11% 89% 20-х
1. + 2. 8% 92% 20

Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.

1столбец и 3 столбец или 2столбец и 3 столбец
6х+11(20-х)=8*20 94х+89(20-х)=92*20
х=12

Ответ 12т

2.Раствор 18% соли (1 вещество) массой 2 кг разбавили стаканом воды (2 вещество)0,25 кг. Какой концентрации раствор (1+2 вещество) в процентах в результате был получен?

Возможны наводящие вопросы:

Добавляем чистую воду, тогда сколько % соли?

1 в-во (соль) 2 в-во (вода) вес
1 18% 82% 2 кг
2 0% 100% 0,25 кг
1+2 х% (100-х)% 2,25 кг

Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.

1столбец и 3 столбец 2столбец и 3 столбец.

18*2=х*2,25 или 82*2+100*0,25=2,25(100-х)

х=16

Ответ 16%

3.Цену товара первоначально снизили на 20%, затем еще на 15%. На сколько процентов всего снижена цена?

При решении задач на проценты меняется точка отсчета, “стало” из первой строки переходит в “было” второй строки т.д. (См. презентацию)

Было Изменение Стало
1 х -20% х-0,2х=0,8х
2 0,8х -15% 0,8х(1-0.15)=0,68х
0,68х

Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:

х-0,68х=0,32х 32%

Ответ 32%

4.Цену на автомобиль подняли сначала на 45%, а затем ещё на 20%,и после перерасчета повысили на 10%. На сколько процентов всего повысилась цена?

Было Изменение Стало
1 х +45% х+0,45х=1,45х
2 1,45х +20% 1,45х(1+0,2)=1,74х
3 1,74х +10% 1,74х(1+0,1)=1,914х

Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:

1,914х-1=0,914х 91,4%

Ответ:91,4%

5.Два комбайна убирали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

v t A
1 х 1
2 1(х-6) х-6 1
1+2 14 4 1

1х+1(х-6)=14

4(х-6)+4х=х(х-6)

х=12

Ответ:12 дней

6.Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший?

v t A
1. х 1
2. 1(х+4) х+4 2
1.+2. 524 24 5

1х+1(х+4)=524

2-28х-96=0

х=8, 8 дней и 12 дней.

Ответ: 8 дней; 12 дней.

7.Две бригады работниц пропололи по 280 грядок каждая, причем первая бригада, пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая работала на 3 дня больше. Сколько дней работала каждая бригада?

v t Vраб
1 х 280х 280
2 х+30 280(х+30) 280
t1-3=t2

280х-3=280(х+30)

x=40 (грядок), 7 дней и 4 дня.

Ответ: 7 дней, 4 дня.

8.Свежие грибы содержат по массе 90% воды сухие-12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих?

Что происходит с водой? (испаряется)

Какой компонент не меняется? (Вещество)

Воды Вещество Вес
Сухое 12% 88% х
Свежее 90% 10% 22 кг
Одинаково

На основании этого составим уравнение:

0,88х=0,1*22

х=2,5

Ответ: 2,5 кг.

Примеры задач для самостоятельного решения:

  1. В результате очистки сырья количество примесей в нём уменьшилось от 20% в исходном сырье до 5% в очищенном. Сколько надо взять исходного сырья, чтобы получить 160 кг очищенного?
  2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.Сколько нужно взять металла каждого сорта, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля 30%?
  3. Цену на столовый сервиз повысили сначала на 25%, а потом ещё на 20%. Во сколько раз увеличилась цена сервиза?
  4. Морская вода содержит 5% (по весу) соли: Сколько кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли в последней стала 2%?
  5. Применить этот метод можно к разным типам задач. Научившись решать не трудные задачи постепенно возможно и усложнение текста. Главное экономия времени. Рассматривая Кимы ЕГЭ задачи такого содержания очень популярны.

Литература:

  • Система тренировочных задач и упражнений по математике. Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г. и др.
  • Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Под ред. Звавич Л.И., и под ред. Л.В.Кузнецовой.
  • ДВГТУ центр довузовской подготовки Математика (задачи на сплавы, растворы, на проценты) г. Владивосток 1998 г.

Презентация

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

66 − 65 =