Схема Горнера. Корни многочлена

  • Носаева Ольга Николаевна, учитель математики

Цели урока:

  • научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
  • воспитывать умение работать в парах;
  • создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
  • помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

— Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения  (сформулировать теорему)? 

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

— Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении  целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера  это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=а0хn+ а1хn-1+ …+ аn-1х+ аn. Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х).  Частное  g(х)=в0хn-1+ вnхn-2 +…+вn-2х + вn-1, где в00, вn=свn-1n,  n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= свn-1n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты  многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

а0

а1

а2

аn-1

аn

с

в00

в1=св11

в2=св1+а2

вn-1=свn-2n-1

r(х)=f(с)=свn-1n

Число, которое после выполнения алгоритма оказывается записанным в правой нижней клетке, и есть остаток от деления многочлена Р(х) на х-с. Другие числа в0, в1, в2,… нижней строки являются коэффициентами частного.

Например : Разделить многочлен Р(х)= х3-2х+3 на х-2.

1.

1

0

-2

3

2

1

2.

 1

 0

 -2

 3

2

1

1*2+0=2

3.

1

0

-2

3

2

1

 2

2*2-2 =2

4.

1

0

-2

3

2

1

2

2

2*2+3=7

 Получаем, что х3-2х+3=(х-2) (х2+2х+2) + 7.

4. Закрепление изученного материала

Пример 1:  Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен Р(х)=2х4-7х3-3х2+5х-1.

Решение: 

Ищем целые корни среди делителей свободного члена -1:  1; -1. Составим таблицу:

2

-7

-3

5

-1

-1

2

-9

6

-1

0

X = -1 – корень                                        

Р(х)= (х+1) (2х3 -9х2 +6х -1)

Проверим 1/2.

2

-9

6

-1

1/2

2

-8

2

0

Х=1/2 — корень

Следовательно, многочлен Р(х) можно представить в виде                                                  

Р(х)= (х+1) (х-1/2) (х2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х2 — 4х +1)

Пример 2: Решить уравнение 2х4 — 5х3 + 5х2 — 2 = 0

Решение:

Так как сумма коэффициентов многочлена , записанного в левой части уравнения, равна нулю, то один из корней 1. Воспользуемся схемой Горнера:

2

-5

5

0

-2

1

2

-3

2

2

0

Х=1 — корень

Получаем  Р(х)=(х-1) (2х3 -3х2 =2х +2). Будем искать корни среди делителей свободного члена 2.

2

-3

2

2

1

2

-1

1

3

-1

2

-5

7

-5

2

2

1

4

10

-2

2

-7

16

-30

Выяснили, что целых корней больше нет. Проверим 1/2; -1/2.

2

-3

2

2

1/2

2

-2

1

2,5

-1/2

2

-4

4

0

Х= -1/2 — корень

Итак (х-1) (х+1/2) (2х2 – 4х +4)=0.  Далее решаем квадратное уравнение 2х2-4х +4 = 0.  Д/4=1-2= -1. Значит это уравнение корней не имеет.

Ответ: 1; -1/2.                                                                                                                                  

Пример 3: Решить уравнение 5х4 – 3х3 – 4х2 -3х+ 5 = 0.

Решение:

Корни данного уравнения будем искать среди делителей свободного члена 5: 1;-1;5;-5. х=1 — корень уравнения, так как сумма коэффициентов равна нулю. Воспользуемся схемой Горнера:

5

-3

-4

-3

5

1

5

2

-2

-5

0

Можно записать (х-1) (5х3 +2х2 -2х-5)=0.   Для 5х3 +2х2 -2х-5=0  х=1 также является корнем и

5

2

-2

-5

1

5

7

5

0

уравнение представим в виде произведения трех множителей: (х-1) (х-1) (5х2 -7х + 5)=0. Решая квадратное уравнение 5х2 -7х+5=0, получили Д=49-100=-51, корней нет.

Ответ: 1.

Далее работа в парах по карточкам.

Карточка 1

  1. Разложите на множители многочлен: х4+3х3-5х2-6х-8
  2. Решите уравнение: 27х3-15х2+5х-1=0

Карточка 2

  1. Разложите на множители многочлен: х43-7х2+13х-6
  2. Решите уравнение: х4+2х3-13х2-38х-24=0

Карточка 3

  1. Разложите на множители: 2х3-21х2+37х+24
  2. Решите уравнение: х3-2х2+4х-8=0

Карточка 4

  1. Разложите на множители: 5х3-46х2+79х-14
  2. Решите уравнение: х4+5х3+5х2-5х-6=0

5. Подведение итогов 

Проверка знаний при решении в парах осуществляется на уроке путем узнавания способа действия и названия ответа.

Домашнее задание: 

Решите уравнения:

а) х4-3х3+4х2-3х+1=0

б) 5х4-36х3+62х2-36х+5=0

в) х43+х+1=4х2

г) х4+2х3-х-2=0

Литература

  1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа 10 класс (углубленное изучение математики): Просвещение, 2005.
  2. У.И. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение уравнений высших степеней: Волгоград, 2007.
  3. С.Б. Гашков, Системы счисления и их применение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

26 − 16 =