Пабудова перасекаў тэтраэдра. 10-ы клас

  • Юминова Зінаіда Аляксандраўна, настаўнік матэматыкі

Мэты ўрока: (дадатак 1, слайды 1-2)

  • навучыцца прымяняць аксіёмы стэрэаметрыі пры вырашэнні задач;
  • навучыцца знаходзіць становішча кропак перасячэння сечнай плоскасці з рэбрамі тэтраэдра;
  • асвоіць метады пабудовы гэтых перасекаў
  • фарміраваць пазнавальную актыўнасць, уменні лагічна думаць;
  • стварыць умовы самакантролю засваення ведаў і ўменняў.

Тып урока: Фарміраванне новых ведаў.

ход урока

I. Арганізацыйны момант

II. Актуалізацыя ведаў вучняў

Франтальны апытанне. (Аксіёмы стэрэаметрыі, ўласцівасці паралельных плоскасцей)

слова настаўніка

Для вырашэння многіх геаметрычных задач, звязаных з тэтраэдра, карысна ўмець будаваць на малюнку іх перасеку рознымі плоскасцямі. (слайд 3). назавем сечнай плоскасцю тэтраэдра любую плоскасць, па абодва бакі ад якой маюцца пункту дадзенага тэтраэдра. Сечная плоскасць перасякае мяжы тэтраэдра па адрэзках. Шматкутнік, бакамi якога з’яўляюцца гэтыя адрэзкі, называецца перасекам тэтраэдра. Бо Тэтраэдр мае чатыры грані, то яго перасекамі могуць быць толькі трыкутнікі і чатырохкутніка. Адзначым таксама, што для пабудовы перасеку дастаткова пабудаваць пункту перасячэння сечнай плоскасці з рэбрамі тэтраэдра, пасля чаго застаецца правесці адрэзкі, якія злучаюць кожныя дзве пабудаваныя кропкі, якія ляжаць у адной і той жа мяжы.

На гэтым уроку вы зможаце падрабязна вывучыць перасеку тэтраэдра, асвоіць метады пабудовы гэтых перасекаў. Вы даведаецеся пяць правіл пабудовы сячэнняў шматкантовікаў, навучыцеся знаходзіць становішча кропак перасячэння сечнай плоскасці з рэбрамі тэтраэдра.

Актуалізацыя апорных паняццяў

  • Першае правіла. Калі дзве кропкі належаць як сечнай плоскасці, так і плоскасці некаторай мяжы мнагагранніка, то прамая, якая праходзіць праз гэтыя дзве кропкі, з’яўляецца лініяй перасячэння сечнай плоскасці з плоскасцю гэтай грані (следства аксіёмы аб перасячэнні плоскасцяў).
  • другое правіла. Калі сечная плоскасць раўналежная некаторай плоскасці, то гэтыя дзве плоскасці перасякаюцца з любой гранню па паралельных прамым (ўласцівасць двух паралельных плоскасцей, памежаваны трэцяй).
  • Трэцяе правіла. Калі сечная плоскасць раўналежная прамой, якая ляжыць у некаторай плоскасці (напрыклад, плоскасці нейкі грані), то лінія перасячэння сечнай плоскасці з гэтай плоскасцю (гранню) раўналежная гэтай прамой (ўласцівасць прамой, паралельнай плоскасці).
  • Чацвёртае правіла. Сечная плоскасць перасякае паралельныя грані па паралельных прамым (ўласцівасць паралельных плоскасцей, памежаваны трэцяй).
  • пятае правіла. Хай дзве кропкі А і В належаць сечнай плоскасці, а кропкі A1 і B1 з’яўляюцца паралельнымі праекцыямі гэтых кропак на некаторую грань. Калі прамыя АВ і A1B1 раўналежныя, то сечная плоскасць перасякае гэтую грань па прамой, паралельнай A1B1. Калі ж прамыя АВ і A1B1 перасякаюцца ў некаторай кропцы, то гэты пункт належыць як сечнай плоскасці, так і плоскасці гэтай грані (першая частка гэтай тэарэмы вынікае з ўласцівасці прамой, паралельнай плоскасці, а другая выцякае з дадатковых уласцівасцяў паралельнай праекцыі).

III. Вывучэнне новага матэрыялу (фарміраванне ведаў, уменняў)

Калектыўнае рашэнне задач з тлумачэньнем (Слайд 4)

Задача 1. Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі Да є ПЕКЛА, М є ДС, Е є ВС.

Ўважліва паглядзім на чарцёж. Бо пункту Да і М належаць адной плоскасці, то мы знаходзім скрыжаванне сечнай плоскасці з гранню АДС — гэта адрэзак КМ. Пункту М і Е таксама ляжаць у адной плоскасці, значыць перасячэннем сечнай плоскасці, і грані ВДС з’яўляецца адрэзак МЕ. Знаходзім кропку перасячэння прамых КМ і АС, якія ляжаць у адной плоскасці АДС. Цяпер кропка Х ляжыць у грані АВС, то яе можна злучыць з кропкай Е. Праводзім прамую ХЕ, якая перасякаецца з АВ ў кропцы Р. Адрэзак РЭ ёсць скрыжаванне сечнай плоскасці з гранню АВС, а адрэзак КР ёсць скрыжаванне сечнай плоскасці з гранню АВС. Такім чынам, чатырохкутніка КМЕР наша шуканае сячэнне. Запіс рашэння ў сшытку:

Рашэнне.

  1. КМ = α ∩ АДС
  2. МЕ = α ∩ ВДС
  3. Х = КМ ∩ АС
  4. Р = ХЕ ∩ АВ
  5. РЭ = α ∩ АВС
  6. КР = α ∩ АДВ
  7. КМЕР — шуканае перасек

Задача 2. (Слайд 5)

Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі
Да є АВС, М є ВДС, N є ПЕКЛА

Прааналізуем гэты малюнак. Тут няма кропак, якія ляжаць у адной грані. У гэты выпадку скарыстаемся правілам 5. Разгледзім праекцыі якіх-небудзь двух кропак. У Тэтраэдр праекцыі кропак знаходзяць з вяршыні на плоскасць падставы, г.зн. М → М1, N → А. Знаходзім скрыжаванне прамых NM і AM1 кропку Х.Данная кропка належыць сечнай плоскасці, так як ляжыць на прамой NM, належыць плоскасці АВС, так як ляжыць на прамой АМ1. Значыць, цяпер у плоскасці АВС у нас ёсць дзве кропкі, якія можна злучыць, атрымліваем прамую КХ. Прамая перасякае бок нд ў кропцы L, а бок АВ ў кропцы Н. У грані АВC знаходзім лінію перасячэння, яна праходзіць праз кропкі Н і К — гэта НL. У грані АВД лінія перасячэння — НN, у грані ВДС праводзім лінію перасячэння праз кропкі L і М — гэта LQ і ў грані АДС атрымліваем адрэзак NQ. Чатырохвугольніка HNQL — шуканае сячэнне.

рашэнне

  1. М → М1 N → А
  2. Х = NМ ∩ АМ1
  3. L = КХ ∩ нд
  4. H = КХ ∩ АВ
  5. НL = α ∩ АВC, Да є НL
  6. НN = α ∩ АВД,
  7. LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
  8. NQ = α ∩ АДС
  9. HNQL — шуканае перасек

IV. замацаванне ведаў

Праца з анімацыйным аб’ектам «Пабудова перасеку тэтраэдра з плоскасцю» (дыск «Урокі геаметрыі ў 10 класе» ўрок №16)

Рашэнне задачы з наступнай праверкай

Задача 3. (Слайд 6)

Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі Да є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

рашэнне

  1. 1. М → М1 , N → N1
  2. Х = NМ ∩ N1М1
  3. R = КХ ∩ АВ
  4. RL = α ∩ АВД, М є RL
  5. КР = α ∩ ВДС, N є КР
  6. LP = α ∩ АДС
  7. RLPK — шуканае перасек

V. Самастойная праца (па варыянтах)

(Слайд 7)

Задача 4. Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі М є АВ, N є АС, Да є ПЕКЛА.

рашэнне

  1. КМ = α ∩ АВД,
  2. МN = α ∩ АВС,
  3. КN = α ∩ АДС
  4. KMN — шуканае перасек

(Праверка па спасылцы на дадатак 2)

Задача 5. Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі М є АВ, Да є ДС, N є ДВ.

рашэнне

  1. MN = α ∩ АВД
  2. NK = α ∩ ВДС
  3. Х = NК ∩ нд
  4. Р = АС ∩ МХ
  5. РК = α ∩ АДС
  6. MNKP — шуканае перасек

(Праверка па спасылцы на дадатак 3)

Задача 6. Пабудуйце сячэнне тэтраэдра ДАВС плоскасцю, якая праходзіць праз кропкі М є АВС, Да є ВД, N є ДС

рашэнне

  1. KN = α ∩ ДВС
  2. Х = КN ∩ нд
  3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
  4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
  5. PN = α ∩ АДС
  6. ТР N K — шуканае перасек

(Праверка па спасылцы на дадатак 4)

VI. Вынік урока.

(Слайд 8)

Такім чынам, мы сёння навучыліся будаваць найпростыя задачы на ​​перасеку тэтраэдра. Нагадваю, што перасекам мнагагранніка называецца шматкутнік, атрыманы ў выніку скрыжавання мнагагранніка з некаторай плоскасцю. Сама плоскасць пры гэтым завецца сечнай плоскасцю. Пабудаваць перасек значыць вызначыць, якія рэбры перасякае сечная плоскасць, выгляд атрыманага перасеку і дакладнае становішча кропак перасячэння сечнай плоскасці з гэтымі рэбрамі. Гэта значыць, тыя мэты, якія былі пастаўлены на ўроку, вырашаны.

VII. Хатняе заданне.

(Слайд 9)

Практычная работа «Пабудаваць перасеку тэтраэдра» ў электронным выглядзе або папяровым варыянце. (Кожнаму было дадзена індывідуальнае заданне).


Внимание, только СЕГОДНЯ!
Ссылка на основную публикацию
2018