vso-mon
Литература

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 10-й класс

  • Казакова Тамара Николаевна, учитель математики

Предметные цели:

создать методическими средствами
психолого-педагогические условия для усвоения
понятий:

  1. БУГП
  2. СУММА БУГП

и применения их при решении ключевых задач:

  1. Алгоритм распознавания БУГП
  2. Вычисление суммы БУГП.

Цели личностного развития:

установление содержательных связей БУГП с
элементами субъектного опыта учащихся в
изучении математики по линиям тождественных
преобразований, уравнений и действительных
чисел.

Ход занятия (занятие состоит из 2-х уроков)

Урок 1.

1 этап: Диагностика усвоения материала по
теме: “Действия с иррациональными числами”.

Самостоятельная работа, которая выполняется
индивидуально каждым учащимся. Оперативная
обратная связь осуществляется с помощью разбора
решений примеров непосредственно по окончании
самостоятельной работы.

Содержание самостоятельной работы:

(Задания приведены с ответами).

По окончании работы проводится анализ
результатов работы и оперативный разбор ошибок.

2 этап. Актуализация знаний, необходимых для
изучения нового материала.

Работа осуществляется в форме фронтальной
беседы с элементами организации поисковой
деятельности. Полученные результаты фиксируются
в тетрадях.

Содержание фронтальной работы:

1. Повторение:

а) определения понятия геометрической
прогрессии (ГП);

б) формулы n-ого члена ГП;

в) формулы суммы n первых членов ГП.

2. Получение нового результата:

Рассмотрим формулу суммы n первых членов ГП:

.

При эту формулу можно переписать в виде: или , из
чего следует формула

Положим в этом равенстве , тогда получим

,
домножим обе части равенства на ,
получим

, а
отсюда вытекает полезное тождество:

(Доказательство приведенных формул см.
Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра и математический
анализ. 10 класс”, М., “Просвещение”, 1992г., стр.45).

В результате обсуждения, в процессе которого
осуществляется конкретизация вновь полученного
обобщенного знания, учащиеся приходят к выводу,
что ранее изученные формулы разности квадратов и
суммы и разности кубов представляют собой
частные случаи выведенных формул:

Таким образом, удаётся установить
содержательную связь БУГП с линией
тождественных преобразований.

3 этап. Создание мотивации для формирования
понятий БУГП и суммы БГУП.

Особенный интерес представляет обсуждение
наглядной демонстрации существования суммы
бесконечного числа слагаемых. Работа
осуществляется фронтально, используются
элементы исследовательской деятельности.

Содержание этапа:

1. В процессе введения определения БУГП
рассматриваются особенности ГП с ¦q¦ < 1. Затем формулируется определение БУГП и решаются ключевые задачи распознавания БУГП:

а) в условии задана ГП; выяснить, является ли она
БУГП;

б) в условии задана последовательность;
выяснить, является ли она БГУП.

Вторая задача соответствует более высокому
уровню сложности: сначала требуется выяснить,
выяснить, является ли последовательность ГП;

затем — является ли она БУГП?

1) ;

2) .

Эти задачи могут быть рассмотрены как а) и как
б). В процессе закрепления используются
упражнения:

15 (3)

Доказать, что ГП является бесконечно убывающей::-27, -9,
-3,…

16(3)

Выяснить, является ли ГП бесконечно убывающей:

(см.Алимов и др.)

Для введения понятия суммы БУГП целесообразно
продолжить обсуждение задачи 2) и представить
сумму слагаемых с помощью графической
интерпретации:

Вывод формулы суммы БУГП проводится в
соответствии с материалом учебника Ш.А.Алимов и
др. “Алгебра и начала анализа.10-11”, М.,
“Просвещение”, 2003г., стр.11-14.

Обсуждение полученного результата создает
условия для психологического принятия наличия
конечной суммы бесконечного числа слагаемых.

Подводятся промежуточные итоги, на доску
выносятся основные результаты.

Урок 2 (продолжение).

4 этап. Формирование алгоритма вычисления
суммы БУГП.

Работа организована индивидуально у доски и в
тетрадях с дифференцированной степенью
самостоятельности. Критерием достижения
положительного результата этапа является знание
всеми учащимися алгоритма нахождения суммы БУГП.
Коррекция осуществляется с помощью
взаимопроверки. Используются упражнения

18(1,2) Найти сумму БУГП:

1.
Ответ:

2. ,
Ответ:

а также упражнения из дидактических материалов
по алгебре и началам анализа Б.Г.Зива и В.А.
Гольдича, с/р №2, упражнения 1 из вариантов 1 и 2.

Найти сумму БУГП:

1.
Ответ: 40,5

2.
Ответ: 32.

Желающим, справившимся с общим заданием раньше
других, предлагается обратная задача:

Известна сумма БУГП и второй член прогрессии.
Нужно найти первый член прогрессии и
знаменатель:

дано: =-0,5; S=1,6;

найти q и .

За самостоятельное решение этой задачи
выставляется отдельная оценка.

5 этап. Первичное обобщение и включение нового
знания в систему субъектного опыта учащихся.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП
с линиями уравнений и действительных чисел.

Фронтально решается задача распознавания БГУП.
С помощью этой задачи, с одной стороны,
осуществляется диагностика достижения
положительного результата предыдущих этапов
урока, с другой стороны, полученные результаты
позволяют осуществить содержательные
взаимосвязи по выше указанным линиям.

Из предложенных последовательностей выбрать
БУГП:

1) =3;
q=2.

2) =-4;
q=.

3) 4;2;1; и т.д.;

4)=1; q=x; x>2;

5)=; q=.

6) =; q=.

7) =; q=

8) =1; q=x; ¦x¦<1.

Таковыми являются 2); 3); 5); 6); 7) и 8).

Сначала найдём сумму БУГП из задания 8). Для
этого запишем сумму членов прогрессии и
воспользуемся формулой суммы БУГП. Получим:

1+++ …++ …= .

Установление содержательных взаимосвязей БУГП
с линией уравнений

Сравните полученный результат с уравнением и
воспользуйтесь при его решении полученным
результатом:

Уравнение 1) ; ¦x¦<1.

Заметим, что если к обеим частям равенства
прибавить 1, то можно воспользоваться полученным
выше результатом:

.

Итак, мы получили дробное рациональное
уравнение, алгоритм решения которого известен
школьникам.

Уравнение 2) 2 + 1 + — + — + …=

¦x¦<1.

Решение уравнения 1) проводится учеником на
доске, уравнение 2 предлагается для
самостоятельной работы дома.

Делается весьма неожиданный вывод о том, что
сумма БГУП даёт возможность решения некоторых
уравнений, имеющих бесконечное число членов.

Таким образом, удаётся установить
содержательную связь БУГП с линией уравнений.

Установление содержательных взаимосвязей БУГП
с линией действительных чисел.

К доске приглашаются 3 ученика для решения
задач 1-3.

1)=; q=.

Сначала находим сумму БУГП по формуле

S==.

Затем попытаемся осмыслить, что представляет
собой сумма членов этой прогрессии, если её члены
записать в виде десятичных дробей:

0,3+0,03+0,003+….=0,3333…=0,(3).

Таким образом, видим, что с помощью формулы
суммы БУГП можно осуществлять переход от записи
действительного числа в виде бесконечной
периодической дроби к записи в виде обыкновенной
дроби.

2) =; q=.

Эта задача носит дублирующий характер и
используется для создания условий лучшего
осмысления сформулированного вывода.

3) =; q=

Решение этой задачи помогает понять, сколько
десятичных знаков содержит период дроби, какие
особенности решения возникают в связи с этим.

Решение этих задач даёт возможность
установления содержательной связи БУГП с линией
действительного числа.

После решения этих задач подводятся итоги
урока, предлагается домашнее задание:№20,21(2,4), 22(2),
23(2) из учебника Алимова.

Этап 6. Диагностика достижения положительного
результата урока.

Предлагается срезовая работа, которая
позволяет оценить достижение всеми учащимися уровня
образовательного стандарта
.

Вариант 1.№№ 13(1); 15(1); 18(1); 19(1); 20(1).

Вариант 2.№№ 13(2); 15(2); 18(2); 19(2); 20(2).

Решение проводится учащимися в тетрадях,
проверяются только специальные бланки (Приложение
1
), в которые вписываются ответы. Данная форма
позволяет осуществить оперативную обратную
связь и, в случае необходимости, провести
коррекцию.

Подводятся окончательные итоги урока,
сообщаются и комментируются оценки, полученные
школьниками.

Приложение 1.


КлассФамилия, имя.Оценка:
№ задания12345
Ответ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *